Resolución Gráfica de Sistemas de Ecuaciones

A

Resolución gráfica — Sistema compatible determinado

MAT-CE1 | STEM2, CD1 | Punto de corte único

2 puntos

Representa gráficamente el siguiente sistema y determina su solución como punto de corte de las dos rectas:

2x + y = 7 x − y = 2

Recta 1 · 2x + y = 7

x	0	2	3
y	7	3	1

Recta 2 · x − y = 2

x	0	2	4
y	−2	0	2

2x + y = 7

x − y = 2

Solución

Despejamos y en la primera ecuación: y = 7 − 2x. Calculamos puntos: si x=0 → y=7; si x=2 → y=3; si x=3 → y=1.
Despejamos y en la segunda ecuación: y = x − 2. Calculamos puntos: si x=0 → y=−2; si x=2 → y=0; si x=4 → y=2.
Representamos los puntos y trazamos cada recta con regla.
Localizamos el punto de corte visualmente: ambas rectas se cruzan en (3, 1).
Verificamos sustituyendo en ambas ecuaciones: 2·3 + 1 = 7 ✓ y 3 − 1 = 2 ✓.
El sistema es SCD (compatible determinado): tiene exactamente una solución.

✅

Solución del sistema: x = 3, y = 1
Punto de corte: (3, 1) · Sistema: SCD

B

Resolución gráfica — Sistema compatible determinado

MAT-CE1 | STEM2, CD1 | Solución con valores negativos

2 puntos

Representa gráficamente el siguiente sistema y determina su solución. Atención: una de las coordenadas de la solución es negativa.

x + 2y = 4 3x − y = −1

Recta 1 · x + 2y = 4

x	0	2	4
y	2	1	0

Recta 2 · 3x − y = −1

x	0	1	−1
y	1	4	−2

x + 2y = 4

3x − y = −1

Solución

Despejamos y en la primera ecuación: y = (4 − x) / 2. Puntos: (0, 2), (2, 1), (4, 0).
Despejamos y en la segunda ecuación: y = 3x + 1. Puntos: (0, 1), (1, 4), (−1, −2).
Dibujamos ambas rectas en los ejes de coordenadas.
El punto de corte visual está aproximadamente en (2/7 · … ). Comprobamos algebraicamente: sustituyendo y = 3x + 1 en la primera → x + 2(3x+1) = 4 → 7x = 2 → x = 2/7... En este caso la solución exacta requiere fracciones, pero gráficamente observamos que el corte está en el primer cuadrante, cerca del origen, con x pequeña y positiva y y próxima a 1.
Para este nivel (3.º ESO) el objetivo es leer el punto de corte con precisión ±0,5 del gráfico. La solución exacta es x = 2/7 ≈ 0,29 y y = 13/7 ≈ 1,86. Aunque no son enteros, la representación gráfica es perfectamente válida como método.
El sistema es SCD: las rectas tienen distinta pendiente y se cortan en un único punto.

✅

Solución exacta: x = 2/7 ≈ 0,3 ; y = 13/7 ≈ 1,9
Gráficamente se lee en el cruce de las dos rectas · Sistema: SCD

C

Resolución gráfica — Sistema incompatible (rectas paralelas)

MAT-CE1 · MAT-CE5 | STEM2, CD1 | Clasificar el sistema

2 puntos

Representa gráficamente el siguiente sistema. ¿Qué observas? Clasifica el sistema justificando tu respuesta.

2x − y = 3 4x − 2y = 2

Recta 1 · 2x − y = 3 → y = 2x − 3

x	0	1	3
y	−3	−1	3

Recta 2 · 4x − 2y = 2 → y = 2x − 1

x	0	1	3
y	−1	1	5

2x − y = 3

4x − 2y = 2

⚠ Rectas paralelas · Sin solución

Despejamos y en la primera ecuación: y = 2x − 3. Pendiente = 2, ordenada en origen = −3.
Despejamos y en la segunda ecuación. Dividimos todo entre 2: 2x − y = 1 → y = 2x − 1. Pendiente = 2, ordenada en origen = −1.
Observamos que ambas rectas tienen la misma pendiente (m = 2) pero distinta ordenada en el origen (−3 ≠ −1). Esto significa que son paralelas.
Las rectas paralelas nunca se cortan, por tanto el sistema no tiene solución.
En la gráfica vemos claramente las dos rectas con la misma inclinación desplazadas verticalmente. No hay punto de corte.
Clasificamos: sistema SI (Incompatible).

⚠️

El sistema no tiene solución.
Las rectas son paralelas (misma pendiente m = 2, distinta ordenada). Sistema: SI (Incompatible)

D

Resolución gráfica — Solución de enteros sencillos

MAT-CE1 | STEM2, CD1 | Práctica de consolidación

2 puntos

Representa gráficamente el siguiente sistema y determina su solución:

x + y = 6 x − 2y = 0

Recta 1 · x + y = 6

x	0	3	6
y	6	3	0

Recta 2 · x − 2y = 0

x	0	2	4
y	0	1	2

x + y = 6

x − 2y = 0

Solución

Despejamos y en la primera: y = 6 − x. Puntos: (0,6), (3,3), (6,0).
Despejamos y en la segunda: y = x/2. Puntos: (0,0), (2,1), (4,2).
Representamos las dos rectas. La primera tiene pendiente negativa (desciende de izquierda a derecha); la segunda pasa por el origen con pendiente positiva ½.
El punto de corte está en (4, 2). Lo podemos leer directamente del gráfico.
Verificamos: 4 + 2 = 6 ✓ y 4 − 2·2 = 0 ✓.
Sistema SCD con solución única de números enteros.

✅

Solución del sistema: x = 4, y = 2
Punto de corte: (4, 2) · Sistema: SCD